Sortieren
Laufzeitmesung in Python
Verwendung der timeit-Bibliothek für die Hausaufgabe.
- Importiere das timeit-Modul: import timeit
- Teile den Algorithmus in die Initialisierungen und den Teil, dessen Geschwindigkeit gemessen werden soll. Beide Teile werden in jeweils einen (mehrzeiligen) String eingeschlossen:
+--------+ +----+ setup = """ prog = """ | algo | --> |init| +----+ +----+ | | +----+ |init| |prog| | | +----+ +----+ | | +----+ """ """ | | --> |prog| +--------+ +----+
- aus den beiden Strings wird ein Timeit-Objekt erzeugt: t = timeit.Timer(prog, setup)
- Frage: Wie oft soll die Algorithmik wiederholt werden
- z.B. N = 1000
- Zeit in Sekunden für N Durchläufe: K = t.timeit(N)
- Zeit für 1 Durchlauf: K/N
3.Stunde am 16.04.2008
Sortierverfahren
Motivation
Def: Ein Sortierverfahren ist ein Algorithmus, der dazu dient, eine Liste von Elementen zu sortieren.
- Literatur, ride Sortierverfahren; Bubblesort 1956, Quicksort 1962. Librarysort 2004
Anwendungen
- Sortierte Daten sind häufig Vorbedingungen für Suchverfahren (Speziell für Algorithmen mit Log(N) Komplexität)
- Darstellung von Daten gemäß menschlicher Wahrnehmung
- Bemerkung: aus programmiertechnischer Anwendungssicht hat das Sortierproblem an Relevanz verloren da
- Festplatten / Hauptspeicher heute weniger limitierenden Charakter haben, so dass komplizierte, speicher-sparende Sortieralgorithmen nur noch in wenigen Fällen benötigt werden.
- gängige Programmiersprachen heute typunabhängige Algorithmen zur Verfügung stellen. Der Programmierer braucht sich deshalb in den meisten Fällen nicht mehr um die Implementierung von Sortieralgorithmen zu kümmern. In C/C++ sorgen dafür beispielsweise Methoden aus der STL.
- Die Kenntnis grundlegender Sortieralgorithmen ist trotzdem immer noch nötig: Einerseits kann man vorgefertigte Bausteine nur dann optimal einsetzen, wenn man weiß, was hinter den Kulissen passiert und andererseits verdeutlicht gerade das Sortierproblem wichtige Prinzipien der Algorithmenentwicklung und -analyse in sehr anschaulicher Form.
Vorraussetzungen/ Spielregeln
Mengentheoretische Anforderungen
Definition Totale Ordnung/ Total gordnete Menge:
Eine Totale Ordnung / Total geordnete Menge ist eine binäre Relation
<math>R \subseteq M \times M</math> über einer Menge <math>M</math>, die transitiv, antisymmetrisch und total ist.
<math>R</math> sei dargestellt als infix Notation <math>\le </math> dann, falls M total geordnet, gilt
<math> \forall a,b,c \ \epsilon M </math>
(1) <math>a \le b \bigwedge b \le a \Rightarrow a=b </math> (antisymmetrisch)
(2) <math>a \le b \bigwedge b \le c \Rightarrow a \le c </math> (transitiv)
(3) <math>a \le b \bigvee b \le a </math> (total)
Bemerkung: aus (3) folgt <math> a \le a </math> (reflexiv)
Hab in der Wiki eine gute Seite dazu gefunden Ordnungsrelation
Datenspeicherung
Die Daten liegen typischerweise in Form von Arrays oder verketteten Listen vor. Ja nach Datenstruktur sind andere Sortieralgorithmen am besten geeignet.
- Array
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
|///| | | | | | | |///|
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
\________________ ____________________/
\/
N
Datenelemente können über Indexoperation a[i] gelesen, überschrieben und miteinadner vertauscht werden. Vorteil: Die Zugriffsreihenfolge auf die Datenelemente ist beliebig. Nachteil: Einfügen oder Löschen von Elementen aus dem Array ist relativ aufwändig.
- Vekettete Liste
+---+ +---+ +---+
| | --> | | --> | | --> Ende
+---+ +---+ +---+
Jeder Knoten der Liste enthält ein Datenelement und einen Zeiger auf den nächsten Knoten. Vorteil: Einfügen und Löschen von Elementen ist effizient möglich. Nachteil: effizienter Zugriff nur auf den Nachfolger eines gegebenen Elements, d.h. Zugriffsreihenfolgeist nicht beliebig.
Stabilität
Ein Sortierverfahren heißt stabil falls die relative Reihenfolge gleicher Schlüssel durch die Sortierung nicht verändert wird.
Beispiel: Sortiere eine Liste von Paaren [(3,7), (4,2), (4,1), (2,2), (2,8)], wobei die Reihenfolge nur durch das erste Element (Schlüsselelement) jeden Paares festgelegt wird. Dann erzeugt ein stabiles Sortierverfahren die Ausgabe
[(2,2), (2,8), (3,7), (4,2), (4,1)]
während die Ausgabe
[(2,2), (2,8), (3,7), (4,1), (4,2)]
nicht stabil ist (die Paare (4,1), (4,2) sind vertauscht).
Charakterisierung der Effizienz von Algorithmen
- (a) Komplexität O( 1), O(n), etc. wird in Kapitel Effizienz erklärt.
- (b) Zählen der notwendigen Vergleiche
- (c) Messen der Laufzeit mit 'timeit' (auf identischen Daten)
Rekursive Beziehungen zerlegt die ursprünglichen Probleme in kleinere Probleme und wendet den Algorithmus auf die kleineren Probleme an; daraufhin werden die Teilprobleme zur Lösung des Gesamtproblems verwendet. d.h. Laufzeit (operativer Vergleich) für N Eingaben hängt von der Laufzeit der Eingaben für die Teilprobleme
Aufwand
(i) rekursives/ lineares Durchlaufen der Eingabedaten, Bearbeitung einzelner Elemente
C(N)= C(N-1)+ N ; N>1, C(1)= 1 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
= C(N-2) +(N-1)+ N | 7 | 3 | 2 | 5 | 6 | 8 | 1 | 4 | 2 |
= C(N-3) + (N-2) + (N-1) + N +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
= ... ________________________/
= C(1) + 2+...+(N-1) +N /
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
N(N+1) N² | 1 | 3 | 2 | 5 | 6 | 8 | 7 | 4 | 2 |
= ----- ~ -- +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
2 2
(ii) rekursives halbieren der Menge der Eingabedaten
C(N)= C(N/2)+1 ; N>1, C(1)=0
Aus Gründen der Einfachheit sei N = 2n
C(N)= C(2^n)= C(<math>2^{n-1}</math>) + 1
= C(<math>2^{n-1}</math>) + 1 + 1
= ...
= C(<math>2^0</math>) + n
= n
= <math>log_2 N</math>
+---+---+---+---+-|-+---+---+---+---+
| | | | | | | | | |
+---+---+---+---+-|-+---+---+---+---+
+---+---+---+---+
| | | | |
+---+---+---+---+
+---+---+ +---+
| | | -> | |
+---+---+ +---+
(iii) rekursives halbieren, lineare Bearbeitung, jedes Elements
C(N)= 2C(N/2)+ N; N>1, C(1)= 0
Sei N= <math>2^n</math>
C(N)= C(<math>2^n</math>)= 2C (<math>2^{n-1}</math>)+ <math>2^n</math>
<=> <math> \cfrac{C(2^n)}{2^n}</math> = <math> \cfrac{2C(2^{n-1})}{2^{n-1}}</math>
= <math> \cfrac{2C(2^{n-2})+2^{n-1}}{2^{n-1}}+1</math>
= <math> \cfrac{2C(2^{n-2})}{2^{n-2}}+1 +1</math>
=...
= n
<=> C(<math>2^n</math>)= <math>2^n</math> * n <=> C= N log<math>_2</math>N
Sortierverfahren
Beispiele: insertion sort N², selection sort N², Bubblesort N log N, Quicksort N log N
Selection Sort
Algorithmus
array = [...] # zu sortierendes array
for i in range(len(array)-1):
min = i
for j in range(i+1, len(array)):
if a[j]< a[min]:
min = j
a[i], a[min] = a[min], a[i] # Vertausche a[i] mit dem kleinsten rechts befindlichen Element
# Elemente links von a[i] und a[i] selbst befinden sich nin in ihrer endgültigen Position
Beispiel: Sortiere das Array "SORTING".
<math> \downarrow</math>
+---+---+---+---+---+---+---+
| S | O | R | T | I | N | G |
+---+---+---+---+---+---+---+
i
+---|---+---+---+---+---+---+
| G | O | R | T | I | N | S |
+---|---+---+---+---+---+---+
i
+---+---|---+---+---+---+---+
| G | I | R | T | O | N | S |
+---+---|---+---+---+---+---+
i
+---+---+---|---+---+---+---+
| G | I | N | T | O | R | S |
+---+---+---|---+---+---+---+
i
+---+---+---+---+---+---+---+
| G | I | N | O | T | R | S |
+---+---+---+---+---+---+---+
..
b) Komplexität
- Anzahl Vergleiche
C(N)= C(N-1)+ (N-1)
= C(N-2)+ (N-2)+ (N-1)
...
= 1+2 + ...+ (N-2)+ (N-1)
= <math>\cfrac{(N-1)N}{2}</math> <math>\approx \cfrac{(N^2)}{2}</math>
- Anzahl Austauschoperationen
C(N)= C(N-1)+1; C(1)= 0; n>1
= N-1
c) Stabilität
Im Allg. zur Prüfung a[j]<a[min] ist Selection Sort stabil falls <math>\le</math> nicht.
3.2 Insertion Sort
- Teil der Übung - Erweiteung: Shell sort
4. Stunde, am 17.04.2008
(Fortsetzung der Stunde vom 16.04.2008)
Mergesort
a) Algorithmus
Zugrunde liegende Idee:
- "Teile und herrsche"-Prinzip (divide and conquer) zur Zerlegung des Problems in Teilprobleme.
- Zusammenführen der Lösungen über Mischen (merging): "two-way" oder "multi-way".
a.1) Algorithmus c ← merge(a,b)
c = merge(a,b) ← { # Kombination zweier sortierter Listen a[i] und b[j]
# zu einer sortierten Ausgabeliste c[k]
a[M+1] ← maxint
b[N+1] ← maxint
for k ← 1 to M+N
if a[i] < b[j]
c[k] > a[i]
i ← i+1
else
c[k] ← b[j]
j ← j+1
}
a.2) rekursiver Mergesort
mergesort(m) ← { #m ist ein Array
if |m| > 1 #True, wenn m mehr als 1 Element hat.
a ← mergesort(m[1:<|m|/2])
b ← mergesort(m[(|m|/2)+1:|m|])
c ← merge(a,b)
return(c)
else
return(m)
}
(Eine In-place-Implementierung siehe bei Sedgewick.)
Bei der Sortierung mit Mergesort wird das Array immer in zwei Teile geteilt. → Es entsteht ein Binärbaum der Tiefe <math>lgN</math>.
Gegebene unsortierte Liste: [S,O,R,T,I,N,G] Die Teile werden bei jedem Schritt paarweise gemischt.
Schritt 0:
S 0 R T I N G S O R T I N G #Arraylänge: N/8
Schritt 1: \ / \ / \ / /
OS RT IN G OS RT IN / #Arraylänge: N/4 Vergleiche: N/4 * 4
Schritt 2: \ / \ /
ORST GIN ORST GIN #Arraylänge: N/2 Vergleiche: N/2 * 2
\ /
Schritt3: \ /
GINORST GINORST #Arraylänge: N Vergleiche: N
Zeitkomplexität: <math>C(N) - N \cdot lgN</math>
b) Komplexität
Komplexität: <math>C(N) = 2 \cdot C \left( \frac{N}{2} \right) + N = N \cdot log_2 N </math> (für N = <math>2^n</math> )
Erklärungen zur Formel:
- <math> C \left(\frac{N}{2}\right) </math>: "für jede Hälfte des Arrays"
- <math> +N </math>: für das Zusammenführen
- N Vergleiche pro Ebene
- Insgesamt gibt es <math> log_2 N </math> Ebenen.
c) Weitere Eigenschaften von MergeSort
- Mergesort ist stabil, weil die Position gleicher Schlüssel im Algorithmus merge(a,b) nicht verändert wird - wegen „<” hat das linke Element Vorrang.
- Mergesort ist unempfindlich gegenüber der ursprünglichen Reihenfolge der Eingabedaten. Grund dafür ist
- die vollständige Aufteilung des Ausgangsarrays in Arrays der Länge 1 und
- dass merge(a,b) die Vorsortierung nicht ausnutzt, d.h. die Komplexität von merge(a,b) ist sortierungsunabhängig.
- Diese Eigenschaft ist dann unerwünscht, wenn ein Teil des Arrays oder gar das ganze Array schon sortiert ist. Es wird nämlich in jedem Fall das ganze Array neu sortiert.
Quicksort
- Quicksort wurde in den 60er Jahren von Charles Antony Richard Hoare [1] entwickelt. Es gibt viele Implementierungen von Quicksort, vgl. [2].
- Dieser Algorithmus gehört zu den "Teile und herrsche"-Algorithmen (divide-and-conquer) und ist der Standardalgorithmus für Sortieren.
a) Algorithmus für quicksort
quicksort(l,r) ← { #l: linke Grenze, r: rechte Grenze des Arrays
#Das Array läuft also von l bis r (a[l:r])
if r > l
i ← partition(l,r) #i ist das Pivot-Element
quicksort(l,i-1) #quicksort auf beide Hälfte des Arrays anwenden
quicksort(i+1,r)
}
Dieser Algorithmus wird rekursiv für zwei Teilstücke links und rechts des Pivot-Elements aufgerufen. Das Pivot-Element ist nach diesem Schritt an der richtigen Position (d.h. links von der Stelle i stehen nur kleinere, rechts von i nur größere Elemente als das Pivot-Element). Die Methode partition sorgt dafür, dass diese Bedingung erfüllt ist.
b) Algorithmus für partition
Aufgabe: Ordne a so um, dass nach der Wahl von i (Pivot-Element) gilt:
- <math>a[i]</math> ist sortiert, d.h. dieses Element ist am endgültigen Platz.
- <math>\forall x \in \left\{ a \left[ l \right] , ... a \left[ i-1 \right] \right\} : x \leq a \left[ i \right]</math>
- <math>\forall x \in \left\{ a \left[ i+1 \right], ... a \left[ r \right] \right\} : x \geq a \left[ i \right]</math>
- a[i] heißt Pivot-Element (p)
l r
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
Array: | | | | |\\\| | | | |
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
\______ _____/ i \______ _____/
\/ \/
<=a[i] >=a[i] (a[i] ist das Pivot-Element)
i ← partition(l,r) ← {
p ← a[r] #p: Pivot-Element. Hier wird willkürlich das rechteste
# Element als Pivot-Element genommen.
i ← l-1 #i und j sind Laufvariablen
j ← r
repeat
repeat
i ← i+1 #Finde von links den ersten Eintrag >= p
until a[i] >= r
repeat
j ← j-1 #Finde von rechts den ersten Eintrag < p
until a[j] <= r
swap(a[i], a[j])
until j <= i #Nachteile: p steht noch rechts
swap(a[i], a[j]) #Letzter Austausch zwischen i und j muss
#zurückgenommen werden
swap(a[i], a[r]) #Das Pivot-Element wird an die korrekte Position gesetzt.
return(i)
}
p
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
Array: | | | | |\\\| | | | |
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
-------> i>p j<p <-------
| |
+---------------+
Diese zwei Elemente werden ausgetauscht.
p
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
Array: | | | | |\\\| | | | |
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
-----------------> <-----------------
"repeat" bis sich die Zeiger treffen oder einander überholt haben.
l,i --> <-- j r
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| A | S | O | R | T | I | N | G | E | X | A | M | P | L | E |
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
i j r
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| A | S | O | R | T | I | N | G | E | X | A | M | P | L | E |
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
i j r
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| A | A | O | R | T | I | N | G | E | X | S | M | P | L | E |
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
j i r
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| A | A | R | E | T | I | N | G | O | X | S | M | P | L | E | --> Hier wird die
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ Schleife verlassen.
j i r
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| A | A | E | R | T | I | N | G | O | X | S | M | P | L | E | 1.swap
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
i r
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| A | A | E | E | T | I | N | G | O | X | S | M | P | L | R | 2.swap
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
- Bemerkungen zur gegebenen Implementierung:
- Die gegebene Implementierung benötigt ein Dummy-Minimalelement (für den Fall i=1).
- Dieses Element ist durch zusätzliche if-Abfrage vermeidbar, aber die if-Abfrage erhöht die Komplexität des Algorithmus (schlechte Performanz).
- Sie ist uneffizient für (weitgehend) sortierte Arrays, da sich folgende Aufteilung für die Partitionen ergibt:
- Erste Partition: [l,i-1], zweite Partition: [i+1,r]
- Die erste Partition umfasst N-1 Elemente. Die zweite Partition ist leer (bzw. sie existiert nicht), weil das Pivot-Element p = r gewählt wurde.
- Das Array wird elementweise abgearbeitet. → N einzelne Aufrufe ⇒ Zeitkomplexität: <math>\approx\frac{N^2}{2}</math>.
- Für identische Schlüssel sollten beide Laufvariablen stehen bleiben (daher "<math>\leq</math>"), um ausgeglichene Zerlegungen bei vielen identischen Schlüsseln zu gewährleisten.
- Bei der gegebenen Implementierung tauscht auch gleiche Elemente aus.
- Für identische Schlüssel können die Abbruchbedingungen verbessert werden (siehe Sedgewick, Seite 150).
c) Komplexität
<math>C(N) = (N+1) + \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} \left[ C(k-1) + C(N-k) \right]</math> für <math> N>1;\, C_1 = C_0 =0 </math>
Anmerkungen zur Formel:
- <math>(N+1)</math>: Vergleiche für jeden Aufruf
- <math>k</math>: Teilungspunkt
- <math> \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} \left[ C(k-1) + C(N-k) \right] = 2 \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} C(k-1) </math> ist der mittlere Aufwand über alle möglichen Zerlegungen.
<math>
C(N) = (N+1) + \frac{2}{N} \sum_{k=1}^{N} C(k-1) </math> <math>\overset{\cdot N}{\longleftrightarrow} </math>
<math>
N \cdot C(N) = N \left[ (N+1) + \frac{2}{N} \sum_{k=1}^{N} C(k-1) \right] \overset{-\, (N-1) \cdot C(N-1)}{\longleftrightarrow} </math>
<math>
N \cdot C(N) - (N-1) \cdot C(N-1) = N(N+1) - (N-1) N + 2 \sum_{k=1}^{N} C(k-1) - 2 \sum_{k=1}^{N} C(k-1) </math>
<math>
= N(N+1) - (N-1) N + 2 \cdot C(N-1) \longleftrightarrow </math>
<math> N \cdot C(N) = N(N+1) - (N-1) N + 2 \cdot C(N-1) + (N-1) \cdot
C(N-1) = 2N + (N+1) \cdot C(N-1) \overset{/N(N+1)}{\longleftrightarrow} </math>
<math>
\frac{C(N)}{N+1} = \frac{C(N-1)}{N} + \frac{2}{N+1} </math>
<math>
= \frac{C(N-2)}{N-1} + \frac{2}{N} + \frac{2}{N+1} </math>
<math>
= \frac{C(N-3)}{N-2} + \frac{2}{N-1} + \frac{2}{N} + \frac{2}{N+1} </math>
<math>
= ... = </math>
<math>
= \frac{C(2)}{3} + 2 \sum_{k=3}^{N} \frac{1}{k+1} \approx 2 \sum_{k=3}^{N} \frac{1}{k+1} \approx 2 \int_1^N \frac{1}{k} dk = 2 \cdot ln N
</math>
Für sehr große N gilt:
<math>\approx 2 \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}</math> beziehungsweise <math> \geq 2
\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}</math>
Mittlere Komplexität:
<math>C(N) = 2(N+1) \cdot lnN \approx 2N \cdot lnN </math>
d) Verbesserungen des Quicksort-Algorithmus
Beseitigung der Rekursion
- Eine Verbesserung beseitigt die Rekursion durch Verwendung eines Stacks. Nach jeder Partitionierung wird das größere Teilintervall auf dem Stack abgelegt und das kleinere Teilintervall direkt weiterverarbeitet.
quickSort(l,r) ← {
#initialize stack
push([l,r])
repeat
if r > l:
i ← partition(l,r)
if (i-l) > (r-i):
push([l,i-1])
l ← i+1
else:
push([i+1,r])
r ← i-1
else:
[l,r] ← pop()
until stackempty()
}
+---+---+---+---+---+---+---+
| Q | U | I | C | K | S | O |
+---+---+---+---+---+---+---+
+---+---+---+===+---+---+---+
| K | C | I |=O=| Q | S | U |
+---+---+---+===+---+---+---+
\_________/
push
+---+===+---+
| C |=I=| K |
+---+===+---+
\_/
push
+===+
|=C=|
+===+
+===+
|=K=|
+===+
+---+---+===+
| Q | S |=U=|
+---+---+===+
+---+===+
| Q |=S=|
+---+===+
+===+
|=Q=|
+===+
+---+---+---+---+---+---+---+
| C | I | K | O | Q | S | U |
+---+---+---+---+---+---+---+
Alternatives Sortieren kleiner Intervalle
- Für kleine Intervalle ist Insertion Sort effizienter als "Teile und herrsche"
- Modifikation:
if (r-l) <= K:
insertion(l,r)
else:
#wie bisher
- für M = 3: explizites Sortieren von 3 Elementen. - Sortieren von 3 Datensätzen. Idee:
- Stelle sicher, dass a[1] und a[2] relativ zueinander sortiert sind.
- Falls a[1] jetzt noch größer als a[3] ist, so ist a[3] das kleinste Element und muss nach vorne geschrieben werden. Das heißt: swap(a[i], a[3]). Danach steht das kleinste Element in a[1].
- Jetzt kann es entweder sein, dass
- in 2. kein swap durchgeführt wurde und a[3] eventuell zwischen a[1] und a[2] liegen könnte, oder
- der swap durchgeführt wurde und die Reihenfolge von a[2] und a[3] jetzt falsch ist.
- Falls a[2] > a[3], dann swap(a[2], a[3]). Das löst beide in 3. genannten Probleme.
- Der Algorithmus zum Sortieren von drei Datensätzen:
a = sort2(a) ← {
if a[1] > a[2]:
swap(a[1], a[2])
if a[1] > a[3]:
swap(a[1], a[3])
# Man könnte hier
# swap(a[2],a[3])
# return
# einfügen und eine if-Abfrage sparen.
if a[2] > a[3]:
swap(a[2], a[3])
}
Günstige Selektion des Pivot-Elements
- Das Pivot-Element könnte geschickter gewählt werden. Methode: Median von drei Elementen: Bestimme den Median der ersten, mittleren und letzten Elements eines Arrays und verwende der Median als Pivot-Element
- Diese Methode minimiert die Häufigkeit des Auftetens des ungünstigsten Falles.
147.142.207.188 19:31, 23 April 2008 (UTC)
