NP-Vollständigkeit

Die Problemklassen P und NP

• fundamentale Unterscheidung:
  • Komplexität O(<math>n^p</math>), p < ∞ (n = Problemgröße), ⇒ ist eventuell effizient
  • exponentielle Komplexität O(<math>2^n</math>), O(<math>2^{\sqrt{n}}</math>), ⇒ prinzipiell nicht effizient
• Vereinfachung:
  • betrachte nur Entscheidungsprobleme, d.h. Algorithmen, die True/False liefern
  • z.B. BP: „Gibt es einen Pfad der Länge ≤ L?“
• Klasse P: alle Algorithmen, die in polynomieller Zeit eine Lösung finden,

Klasse NP: Alle Algorithmen, wo man eine gegebene Lösung in polynomieller Zeit überprüfen kann

• Ungelöstes Problem: Sind alle Probleme in NP auch in P? („P = NP?“)
• Welches sind die schwierigsten Probleme in NP?

=> die, sodass man alle anderen NP-Probleme in diese umwandeln kann: „NP vollständig“, „NP complete“

• umwandeln:
  • Problem wird auf ein anderes reduziert
  • Reduktion darf nur polynomielle Zeit erfordern (d.h. alle Zwischenschritte müssen polynomiell sein)

3-SAT ist NP vollständig

Skizze des Beweises:

1. Unsere Algorithmen können auf einer Turingmaschine ausgeführt werden (äquivalent zur Turingmaschine: λ-Kalkül, while-Programm usw.)
2. Die Turingmaschine und ein gegebenes (festes) Programm können als logische Schaltung (Schaltnetz) implementiert werden, „Algorithmus in Hardware gegossen“
3. Jedes Schaltnetzwerk kann als logische Formel geschrieben werden, z.B.:

4. Jede logische Formel kann in 3-CNF umgewandelt werden

=> Jedes algorithmische Entscheidungsproblem kann als 3-SAT-Problem geschrieben werden.