Sandbox

<math>f(x)=\sqrt[4]{x}</math>

<math>f(x)=\frac{y}{x}</math>
hallo

There was a young lady from Riga,

who smiled as she rode on a tiger.

they returned from the ride

with the lady inside

and the smile on the face of the tiger.

hello	is
a	table

---

4. Stunde, am 17.04.2008
(Fortsetzung der Stunde vom 16.04.2008)

Mergesort

Algorithmus

1. c ← merge(a,b) (Siehe Mitschrift der Stunde am 16.04.2008)
2. rekursiver Mergesort:

 mergesort(m) ← {    #m ist ein Array
     if |m| > 1    #True, wenn m mehr als 1 Element hat.
         a ← mergesort(m[1:<|m|/2])
         b ← mergesort(m[|m|/2-1:|m|])
         c ← merge(a,b)
         return(c)
     else
         return(m)
} 

Bei der Sortierung mit Mergesort wird das Array immer in zwei Teile geteilt. → Es

entsteht ein Binärbaum der Tiefe <math>lgN</math>.

Bild fehlt noch

Zeitkomplexität: <math>C(N) - N \cdot lgN</math>

Komplexität

Komplexität: <math>C(N) = 2 \cdot \left( \frac{N}{2} \right) + N = N \cdot log_2 N

\cdot N</math> (für N = <math>2^n</math> )

Erklärungen zur Formel:

• <math> C \left(\frac{N}{2}\right) </math>: für jede Hälfte des Arrays
• <math> + N </math>: für das Zusammenführen

weitere Eigenschaften von MergeSort

• Mergesort ist stabil, weil die Position gleicher Schlüssel im Algorithmus

merge(a,b) nicht verändert wird - wegen „<” hat das linke

Element Vorrang.

• Mergesort ist unempfindlich gegenüber der Reihenfolge der Eingabedaten.

Grund dafür ist die vollständige Aufteilung des Ausgangsarrays in Arrays der Länge

1.

• Diese Eigenschaft ist dann unerwünscht, wenn ein Teil des Arrays oder gar das

ganze Array schon sortiert ist. Es wird nämlich in jedem Fall das ganze Array neu

sortiert.

Quicksort

• Quicksort wurde in den 60er Jahren von Charles Antony Richard Hoare [1] entwickelt. Es gibt viele Implementierungen von Quicksort, siehe vgl. [2].
• Dieser Algorithmus gehört zu den "Teile und herrsche"-Algorithmen (divide-and-conquer) und ist der Standardalgorithmus für Sortieren.

grundlegender Algorithmus

 quicksort(l,r) ← {    #l: linke Grenze, r: rechte Grenze des Arrays
                      #Das Array läuft also von l bis r (a[l:r])
     if r > l
         i ← partition(l,r)    #i ist das Pivot-Element
         quicksort(l,i-1)    #quicksort auf beide Hälfte des Arrays anwenden
         quicksort(i+1,r)
 }

Dieser Algorithmus wird rekursiv für zwei Teilstücke links und rechts des Pivot-Elements aufgerufen. Das Pivot-Element ist nach diesem Schritt an der richtigen Position (d.h. links von der Stelle i stehen nur kleinere, rechts von i nur größere Elemente als das Pivot-Element). Die Methode partition sorgt dafür, dass diese Bedingung erfüllt ist.

Algorithmus für partition

Aufgabe: Ordne a so um, dass nach der Wahl von i (Pivot-Element)

gilt:

1. <math>a[i]</math> ist sortiert, d.h. dieses Element ist am endgültigen Platz.
2. <math>\forall x \in \left\{ a \left[ l \right] , ... a \left[ i-1 \right]

\right\} : x \leq a \left[ i \right]</math>

1. <math>\forall x \in \left\{ a \left[ i+1 \right], ... a \left[ r \right]

\right\} : x \geq a \left[ i \right]</math>

Abbildung fehlt noch a[i] heißt Pivot-Element (p)

 i ← partition(l,r) ← {
     p ← a[r]    #p: Pivot-Element. Hier wird willkürlich das rechteste Element 
                 #   als Pivot-Element genommen.
     i ← l-1    #i und j sind Laufvariablen
     j ← r
     
     repeat
         repeat
             i ← i+1    #Finde von links den ersten Eintrag >= p
         until a[i] >= p
     
         repeat
             j ← j+1    #Finde von rechts den ersten Eintrag <= p
         until a[j] <= p
         swap(a[i], a[j])
     until j <= i    #Nachteile: p steht noch rechts
     swap(a[i], a[j])    #Letzter Austausch zwischen i und j muss 
                             #zurückgenommen werden
     swap(a[i], a[r])
     return(i)
 }

Abbildung fehlt noch

Beispiel fehlt noch

Bemerkungen zur gegebenen Implementierung:

1. Sie benötigt ein Dummy-Minimalelement.
   • Dieses Element ist durch zusätzliche if-Abfrage vermeidbar, aber die

if-Abfrage erhöht die Komplexität des Algorithmus (schlechte Performanz).

1. Sie ist ineffizient für (weitgehend) sortierte Arrays, da sich folgende

Aufteilung für die Partitionen ergibt:

1. Erste Partition: [l,i-1], zweite Partition: [i+1,r]
2. Die erste Partition umfasst N-1 Elemente
3. Die zweite Partition ist leer (bzw. sie existiert nicht), weil das Pivot-Element p = r gewählt wurde. Das Array wird also elementweise abgearbeitet.
4. → N einzelne Aufrufe ⇒ Zeitkomplexität: <math>\approx

\frac{N^2}{2}</math> (siehe Berechnung vom 16.04.2008)

1. Für identische Schlüssel sollten beide Laufvariablen stehen bleiben.
2. Bei der gegebenen Implementierung tauscht auch gleiche Elemente aus.
3. Für identische Schlüssel können die Abbruchbedingungen verbessert werden (siehe

Sedgewick).

Komplexität

<math>C(N) = (N+1) + \frac{1}{N} \sum_{m=1}^{N} \left[ C(k-1) + C(N-k)

\right]</math> für <math> N>1;\, C_1 = C_0 =0 </math>

Anmerkungen zur Formel:

1. <math>(N+1)</math>: Vergleiche für jeden Aufruf
2. <math>k</math>: Teilungspunkt

<math> \frac{1}{N} \sum_{m=1}^{N} \left[ C(k-1) + C(N-k) \right] = 2 \frac{1}{N}

\sum_{k=1}^{N} C(k-1) </math>

<math> C(N) = (N+1) + \frac{1}{N} \sum_{m=1}^{N} \left[ C(k-1) + C(N-k) \right] \overset{\cdot N}{\longleftrightarrow} </math>

<math> N \cdot C(N) = N \left[ (N+1) + \frac{2}{N} \sum_{k=1}^{N} C(k-1) \right] \overset{-\, (N-1) \cdot C(N-1)}{\longleftrightarrow} </math>

<math> N \cdot C(N) - (N-1) \cdot C(N-1) = N(N+1) - (N-1) \cdot N + 2 \sum_{k=1}^{N}

C(k-1) - 2 \sum_{k=1}^{N} C(k-1) </math>

<math> = N(N+1) - (N-1) \cdot N + 2 \cdot C(N-1) \longleftrightarrow </math>

<math> N \cdot C(N) = N(N+1) - (N-1) \cdot N + 2 \cdot C(N-1) + (N-1) + (N-1) \cdot

C(N-1) = 2N + (N+1) \cdot C(N-1) \overset{/N(N+1)}{\longleftrightarrow} </math>

<math> \frac{C(N)}{N+1} = \frac{C(N-1)}{N} + \frac{2}{N+1} </math>

<math> = \frac{C(N-2)}{N-1} + \frac{2}{N} + \frac{2}{N+1} </math>

<math> = \frac{C(N-3)}{N-2} + \frac{2}{N-1} + \frac{2}{N} + \frac{2}{N+1} </math>

<math> = ... = </math>

<math> = \frac{C(2)}{3} + 2 \sum_{k=3}^{N} \frac{1}{k+1} \approx 2 \sum_{k=3}^{N}

\frac{1}{k+1} \approx 2 \int_1^N \frac{1}{k} dk = 2 \cdot ln N </math>


Für sehr große N gilt: <math>\approx 2 \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}</math> beziehungsweise <math> \geq 2

\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}</math>

Mittlere Komplexität: <math>C(N) = 2(N+1) \cdot lnN \approx 2N \cdot lnN </math>

Verbesserungen des Algorithmus

1. Eine Verbesserung beseitigt die Rekursion durch Verwendung eines Stacks.
2. "r" wird immer kleiner → Der rekursive Aufruf lohnt sich nicht mehr. → Explizites Sortieren einsetzen.
3. Das Pivot-Element könnte geschickter gewählt werden: Median.

147.142.207.188 19:31, 23 April 2008 (UTC)