Prioritätswarteschlangen: Difference between revisions
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''' if a[n] > max''' (Das ganze hat die Komplexität:''' N = len(a) =>''' <math>\mathcal{O}(N)</math><br> | ''' if a[n] > max''' (Das ganze hat die Komplexität:''' N = len(a) =>''' <math>\mathcal{O}(N)</math><br> | ||
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''' k = n'''<br> | ''' k = n'''<br> | ||
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Bei kleine Array ist dies die schnellste Methode | Bei kleine Array ist dies die schnellste Methode | ||
===Binärer (balancierter)Suchbaum=== | ===Binärer (balancierter)Suchbaum=== | ||
insert => z.B. wie beim Anderson Baum [http://hci.iwr.uni-heidelberg.de/alda/index.php/Suchen#Anderson-B.C3.A4ume] <math>\mathcal{O}(logN)</math><br> | insert => z.B. wie beim Anderson Baum [http://hci.iwr.uni-heidelberg.de/alda/index.php/Suchen#Anderson-B.C3.A4ume] <math>\mathcal{O}(logN)</math><br> |
Revision as of 10:49, 3 June 2008
Sortieren als Suchproblem
Systematisches Fragen mit True und False kann auch als Baum dargestellt werden.
Hier ein Beispiel.Als Eingabe sind drei Zahlen angegeben a={1,2,3},wobei die Reihenfolge nicht bekannt ist.
Also mit Eingabe von drei Elemnten müssen im ungünstigsten Fall drei Schritte vorgenommen werden.
Die allgemeine Regel lautet: es gibt N mögliche Lösungen
=>der Baum muss N Blätter haben
=>ein baum mit N Blättern hat mindestens die Höhe logN
vollständiger Baum (oder balancierter Baum)[1]
2^d+1 Knoten
2^d Blätter
Sortieren
N = n!wenn das Arrey n Elemente hat
Zum Beispiel: 3! = 1*2*3 = 6
log6 <math>\approx</math> 2,6 => d = 3 - bei dem Frage-Baum brauch man im ungünstigsten Fall drei Schritte (True/False)
log6 <math>\approx</math> 2,6 - weil nicht jeder Pfad zu Ende durchgelaufen sein soll, um die Lösung zu bekommen.
d<math>\ge</math>log<math>_2</math>n! = log<math>_2</math>(1,2...n) = log<math>_2</math>1 + log<math>_2</math>2 + ... + log<math>_2</math>n = <math>\sum_{n=1}^n log_2n
</math>
Abschätzung von Summen durch Integrale
gegeben : f(x) - monoton wachsend
<math>\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_2} f(\big\lfloor x \big\rfloor)dx</math> <math>\le</math> <math>\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_2} f(x)dx
</math> <math>\le</math> <math>\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_2} f(\big\lceil x \big\rceil)dx</math>
<math>\downarrow</math>
<math>\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_1 + 1} \underline{f(x_1)}dx</math> + ...+ <math>\textstyle \int\limits_{x_2-1}^{x_2} f(x_2 - 1)dx
</math> = <math>\sum_{k=x_1}^{x_2-1} f(k)</math>
( angenommen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> <math>\in </math> <math>\mathbb{N},\mathbb{Z}</math>
)
wobei f(<math>x_1</math>) = f(<math>\big\lfloor x \big\rfloor </math><math>)_{x_1}^{x_1 +1}</math>
<math>\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_1 +1} f(x_1)dx</math> = f(<math>x_1</math>) <math>\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_1 + 1} 1dx</math> = f(<math>x_1</math>)x<math>\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_1 + 1}</math> = f(x_1)
<math>\sum_{k=x_1}^{x_2-1} f(k) \le \textstyle \int\limits_{x_1}^{x_2} f(x)dx</math>
<math>\sum_{k=x_1 +1}^{x_2} f(k) \ge \textstyle \int\limits_{x_1}^{x_2} f(x)dx \iff</math> <math>\sum_{k=x_1}^{x_2} f(x) \ge \textstyle \int\limits_{x_1 - 1}^{x_2} f(x)dx
</math>
für uns gilt: f(x) = log<math>_2</math>(x)
log<math>_2</math>1 + <math>\sum_{k=2}^{n} log_2 x\ge\textstyle \int\limits_{1}^{n} log_2 (x)dx
</math> = <math>\frac{1}{ln2}\textstyle \int\limits_{1}^{n} log(x)dx</math> = <math>\frac{1}{ln2}</math> [xlogx - x]<math>_{x = 1}^n</math> = nlog<math>_2</math>(n) - <math>\frac{n - 1}{ln2}</math> = <math>\Omega</math>(nlog<math>_2</math>n)
<math>\Rightarrow</math> d = log<math>_2</math>n! = <math>\Omega</math>(nlogn)
kein Sortieralgorithmus auf Basis paarweise Vergleiche ist asymthotisch schneller als Mergesort
Prioritätswarteschlangen
* Max Priority Quene : insert(x) x = largest() removeLargest()
* Min Priority Quene: smallest() REMOVEsMALLEST()
Prioritätswarteschlange als Suchproblem
- Sequentielle Suche - Array mit Prioritäten : insert(x)<=> a.append(x) ( <math>\mathcal{O}(1)</math>(amortisierte Komplexität))
def largest(a):
if len (a) == 0:
raise RuntimeError("...")
max = a[0]
k = 0
for n in range(1, len(a): (innere Schleife von SelectionSort)
if a[n] > max (Das ganze hat die Komplexität: N = len(a) => <math>\mathcal{O}(N)</math>
max = a[n]
k = n
return k
Bei kleine Array ist dies die schnellste Methode
Binärer (balancierter)Suchbaum
insert => z.B. wie beim Anderson Baum [2] <math>\mathcal{O}(logN)</math>
def largest(node): # Wurzel
if node.right is not None: #rechts stehen immer die großen
return largest(node.right)
return node #wenn es nicht mehr nach rechts geht, dann haben wir den größten Knoten gefunden
Das ganze hat <math>\mathcal{O}(logN)</math> Komplexität
Ergebnis: gute Komplexität aber komplizierte Datenstruktur
Heap
- Datenstruktur optimiert für Prioritätssuche - man sucht nicht effizient alle Knoten, sondern nur einen bestimmten z.B. Heap max
- Definition: ein linkslastiger Binärbaum ist ein Baum mit <math>d(node.left) \geq d(node.right)</math>
Ein Heap ist ein linkslastiger, perfekt balancierter Baum. (lässt sich max. um 1 unterscheiden)
Man kann einen Heap leicht als Array implementieren, wie folgende Grafik veranschaulicht:
index[parent] = [(indexChild - 1)/2] #[] heißt abgerundet
index[left] = index[parent]2 + 1
index[right] = index[parent]2 + 2
=> linkslastiger perfect balancierter Binärbaum kann effizient als Array abgespeichert werden
=>verwende Indizes wie oben
Heap - Bedingung
- die Wurzel hat höhere Prioriät als die Kinder(gilt für jeden Teilbaum)
=>Wurzel = array[0] hat die größte Priorität
def largest(h):
return h[0] <math>\mathcal{O}(N)</math>
Einfügen in einem Heap
h - Array #speichrt Haep
def insert(h,x):
h.append(x) # wir speichern den Wurzel am Ende, so wird glecih zu einem linkssalstigen perfect balancierten Baum (die Haep - Bedingung ist erfüllt)
upheap(h, len(h) - 1):
def upheap(h, k):
"""k-tes Element evtl. an der falsche Stelle
"""
v = h[k]
while True #endlose Schleife
if k == 0:
break
parent = (k - 1/2)
if h[parent]>v:
break
h[k] = h.parent
k = parent
h[k] = v
def removeLargest(h): h[0] = h[len(h) - 1]
del h[len(n) - 1] <math>\mathcal{O}(1)</math>
downHeap(h, 0) <math>\mathcal{O}(logN)</math>
def downHeap(h, k):
v = h[k]
while True
child = 2k + 1 #linke Kind
if child <math>\ge</math>len{h):
break
if child < and h[child] < h[child + 1] #rechtes Kind
child = child + 1 if v <math>\ge</math> h[child]:
break
h[k] = h[child]
k = child
h[k] = v