Graphen und Graphenalgorithmen

Einführung zu Graphen

Motivation

Königsberger - Brückenproblem

(1736 Euler)

Königsberger Brücken:

Spaziergang durch Königsberg, so dass alle Brücken nur einmal überquert werden.

Geometrie: Topologie

    O
   || \
   ||  \
    O   O
   ||  /
   || /
    O

• Definition: ungerichteter Graph

Ein ungerichteter Graph G = ( V, E )

• • V ist endliche Menge von Knoten (vertices)
  • E c V × V (edges)

Ein Graph heißt ungerichtet, wenn zusätzlich gilt:

(x,y) ∈ E => (y,x) ∈ E (symmetrie)

Bsp:

gerichteter Graph

ungerichtet

 O
|| \
||  \
 O   O
||  /
|| /
 O

Bsp:

• Landkarten:
  • Knoten: Länder
  • Kanten: gem. Grenzen

• Schaltkreis:
  • Knoten: Gatter
  • Kanten: Verbindungen

• Chemie (Summenformeln):
  • Knoten: Elemente
  • Kanten: Bindungen

• Soziologie (StudieVZ)
  • Soziogramm
    • Knoten: Personen
    • Kanten: Freund von ...

• Definition: Vollständige Graphen

Bei vollständigen Graphen ist jeder Knoten mit allen anderen Knoten verbunden.

E = U V (v,w) u (w,v) | v ∈ V, w ∈ V, u != w

k1	k2	k3
k4	k5

Rätsel Auf einer Party sind Leute. Alle stoßen miteinander an. Es hat 78 mal "Pling" gemacht. Wieviele Leute waren da?

Repräsentation von Graphen

Sei G = ( V, E ) geg und liege V in einer lineraren Sortierung vor. V = { v1, ...., vn }

Adjazenzmatrix

AG = aij = {1 falls (vi, vj) ∈ E ; sonst 0}

Bsp:

v = { a,b,c,d }     b      d
                    | \  / |
                    |  \/  |
                    |  /\  |
                    | /  \ |
                    a      c

      a b c d
     -----------
     (0 1 0 1) |a 
AG = (1 0 1 0) |b
     (0 1 0 1) |c
     (1 0 1 0) |d

Adjezenzlisten

al(v) = {v' ∈ V | (u,u') ∈ E} Lg = ((v1, al(v1)), ...., (vn, al(vn))

Python:

Array von Arrays [[...],[...],...,[...]]
                    0     1         n

• Definition: Teilgraphen

Ein Graph G' = (v',E') ist ein Teilgraph, wenn gilt:

• • v' c V
  • E' c E

Er heißt erzegender Graph, wenn zusätzlich gilt:

• • v' = V

• Definition: Knotengrade

Für G = (v,E)und v ∈ V grad(v) = |{v' ∈ V | v,v'∈ E}| out_grad(v) = | -""- | in_grad(v) = |{v'∈ V| (v',v) ∈ E}|

Bsp:

ungerichtet

 c
|| \
||  \
 b   d          grad(a) = | {b,b,d} | = 3
||  /
|| /
 a

 
gerichtet

 c←
 | \
 ↓  \
 b←--d         out_grad(d) = 2 = | {c,b} |
 |  /→          in_grad(d) = 1 = | {a} |
 ↓ /
 a

• Definition: Wege

Sei G = (v,E)

• • Für v0 ∈ V ist (v0) ein Weg in G
  • Für Knoten v1,...vn,vn+1 und eine Kante (vn,vn+1) ∈ E ist mit einem Weg (v0,....vn) in G auch (v0,...,vn,vn+1) ein Weg in G.

Also: Nichtleere Folgen von Knoten die durch eine Kante verbunden sind.

Eulerweg

   O
  /  \
 O----O
 | \/ |
 | /\ |   "Das Haus vom Nikolaus" Alle Kanten werden nur einmal passiert
 O----O

Hamiltonweg

   O
  /   
 O----O
    /  
   /      Alle Knoten werden nur einmal passiert
 O----O

Kreis

   O
  /  \
 O    O
 |    |   v0 = vn
 |    |   vi != vj   Für Alle i,j   i !=j; i,j >0; i,j < n
 O----O     

Zyklen

   O
  /  \
 O    O
   \  |
    \ |   Wie Kreis nur ohne (vi != vj)
 O====O

• Definition: planare Graphen

Ist ein Graph, der auf einer Ebene gezeichnet werden kann, sodass sich die Kanten nicht schneiden!

Bsp:

1)  

     O
    /|\
   / O \
  / / \ \
  O     O

2)

   O
  /  \
 O----O
 | \/ |
 | /\ |   
 O----O

3)

|----O   @
|   /@ \
|  O----O
|  |@ / |
|  | / @|   
|  O----O               @ entspricht Regionen auch ausserhalb der Figur ist eine Region
|@      |
|-------|

1),2) und 3) sind planare Graphen.

Der K5 Graph ist kein planarer Graph da sich zwangsweise Kanten schneiden.

• Definition: dualer Graph

Der duale Graph eines geg. planaren Graphs G' ist ein Graph mit

• • Knoten für jede Region
  • Für jede Kante aus E gilt es gibt eine Kante, die die angrenzende Region mit Knoten verbindet.

dualer Graph

     O------O
     |     /| \
   |-|-@  / | @\---|
   | | |\/  |/| O  |
   | | |/\ /| |/   |
   | | /  @ | /    |
   | O-+--+-O |    |
   |   |  |   |    |
   |---|--@---|----|

• Definition: erreichbar

W ∈ V ist erreichbar von v ∈ G gdw.:
es Existiert Weg(v,...w)

• Definition: Zusammenhang

G heißt zusammenhängend, wenn für Alle v,w ∈V gilt:
w ist erreichbar von V

Bäume

• Definition: Baum

Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph.

Bsp.: Binary Search Tree

• Definition: erzeugender Baum

für G = (v,E) ist ein erzeigender Teilgraph mit Baumeigenschaft

Bsp.:

   O    O
  /    /   
 O    O    O
 |  /    /   
 | /    /    
 O----O----O

Durchlaufen von Graphen

Tiefensuche in Graphen

Sei der Graph gegeben als Liste von Listen = g

def dfs (g,node,v=0):
  if v == 0:
    v = [0]*len(g) #visited-Liste
  v[node] = 1 #besuche node
  for t in g[node]: #gehe zu allen Nachbarn
    if v[t] == 0: #falls diese noch nicht besucht
      dfs(g,t,v) #Rekursion

Aufruf dfs(g,1)

=>Folge 1,2,4,3,6,7,5

Breitensuche

from Queue import *
def bfs(g,startnode)
  v = [0]*len(g)
  q = Queue()
  v = [startnode] = 1 #besuche
  q.put(startnode) #in Schlange
  while not q.get()
    node = q.get()
    for t in q[node]
      if v[t] == 0:
        v[t] = 1
        q.put(t)

=>Folge 1,2,3,4,5,6,7

Damenproblem

 ---------------
|   | X |   |   |
|---|---|---|---| 
|   |   |   | X |
|---|---|---|---|
| X |   |   |   |
|---|---|---|---|
|   |   |   | X |
 ---------------

4 Damen auf einem vereinfachten Schachbrett so Positionieren, dass sich keine bedroht.

erster Durchlauf:

zweiter Durchlauf:

Weitere Anwendungen (18.06.08)

def dfs(graph):

       
       Diese Tiefensuche tut so noch nichts weiter als zu traversieren
       + graph ist Array,
           i-ter Eintrag enthaelt Adjazenzliste (auch Array) des i-ten Knotens,
           wobei Knoten nummeriert von 0 ... v-i
       
       def visit(graph, node, visited):
               
               visited ist Array mit Flags fuer besuchte Knoten
               
               if visited[node]: return
               visited[node] = True
               for neighbor in graph[node]:
                       visit(graph, neighbor, visited)

       visited = [False]*len(graph)
       for node in range(len(graph)):
               visit(graph, node, visited)

Finden von Zusammenhangskomponenten

Ein moeglicher Einsatz des Verfahrens ist das Finden von Zusammenhangskomponenten (connected components).

• Beispiel: ...

• Definition: CC_i = {u_k, u_l e V: es gibt einen Pfad von u_k nach u_l ("u_l ist von u_k aus erreichbar")
• fuer ungerichtete Graphen gilt zusaetzlich: es gibt einen Pfad von u_l nach u_k}

Die Relation CC_i, also die Zusammenhangskomponenten (ZK) bilden eine Aequivalenzrelation, also kann fuer jede ZK ein Repraesentant bestimmt werden (der sog. "Anker"). Kennt jeder Knoten seinen Anker, so ist das ZK-Problem geloest.

Tiefensuchen-Algorithmus

Unser erster Ansatz ist, den Anker mit Hilfe der Tiefensuche zu finden, wobei statt Knotenbesuche Knotennummern fuer die schon gefundenen Anker gesetzt werden. Ein moeglicher Algorithmus lautet damit wie folgt:

def connectedComponents(graph):
       def visit(graph, node, anchors, anchor):
               
               anchor ist Anker der aktuellen ZK
               
               if anchors[node] is not None: return # Anker von <node> schon bekannt
               anchors[node] = anchor
               for neighbor in graph[node]
                       visit(graph, neighbor, anchors, anchor)

       anchors = [None]*len(graph)
       for node in range(len(graph)):
               visit(graph, node, anchors, node) # node: Anker der naechste ZK = erster Knoten der ZK
       return anchors

• Beispiel: ...

Union-Find-Algorithmus

Eine Alternative (ohne Tiefensuche) waere z.B. ein Union-Find-Algorithmus. Idee dabei ist, dass angangs jeder Knoten eine eigene ZK bildet, wobei in einer anschliessenden Rekursion Kanten gesucht werden, die zwischen den ZK bestehen.

Initialisierung: jeder Knoten wird als 1 ZK behandelt Rekursion: fasse ZK zusammen (Union) falls Kante zwischen ihnen existiert Ergebnis: Array mit dem Anker jedes Knotens

def unionFindCC(graph):
       def findAnchor(anchors, k):
               
               Prueft auf anchors[k]==k
               
               while anchors[k] != k:
                       k = anchor[k]
               return k

       def edges(graph):
               e = []
               for node in range(len(Graph)):
                       for n in graph[node]:
                               if node < n:
                                       e.append((node, n))
               return e

       anchors = range(len(graph) # jeder Knoten ist sein eigener Anker
       for edge in edges(graph):
               # diese Schleife ordnet die Anker so, dass
               #   der 1. Anker immer der kleinste ist
               a1, a2 = findAnchor(anchors, edge[0]), findAnchor(anchors, edge[1])
               if a2 < a1: a2,a1 = a1,a2
               if a1 != a2: anchors[a2] = a1
       for node in range(len(graph)):
               # diese Schleife raeumt mit Indirektionen auf (s. Bsp. (#))
               anchor[node] = findAnchor(anchors, node)

• Beispiel (#): ...

Eine verbreitete Anwendung fuer dieses Verfahren gibt es in der Bildverarbeitung:

• Beispiel: ...

Detektion von Zyklen

Zum Finden von Zyklen, bzw. der Feststellung, ob ein Graph azyklisch ist, verwenden wir wieder eine modifizierte Version der Tiefensuche: diesmal wird die Reihenfolge, in der die Knoten gefunden werden gespeichert. Es gibt einen Zyklus genau dann, wenn man zu einem hinreichend frueher (d.h. nicht zum direkten Vorgaenger) Knoten zurueckkommt.

• Beispiel: ...

def acyclicGraph(graph):               # True, falls keine Zyklen bestehen
       def visit(graph, node, visited, count):
               
               muss gewaehrleisten, dass <visited[node]> den kleinsten
                 von <node> aus mit Tiefensuche erreichbaren Knoten
                 angibt
               
               visited[node] = count
               count += 1
               minVal = visited[node]
               for neighbor in graph[node]:
                       if visited[neighbor] is None:
                               count, minRes = visit(graph, neighbor, visited, count)
                               # minRes ist der kleinste in diesem Aufruf gefundene Knoten
                               if minRes < minVal:
                                       minVal = minRes
                       elif visited[neighbor] < minVal:
                               minVal = visited[neighbor]
               return count, minVal

       visited = [None]*len(graph)
       count = 0                       # Zaehler fuer Reihenfolge
       for node in range(len(graph)):
               if visited[node] is not None:
                       continue
               count, minVal = visit(graph, node, visited, count)
       for node in range(len(graph)):
               if visited[node] < node: return False # Zyklus
       return True