Prioritätswarteschlangen

Prioritätswarteschlangen

Heap

• Datenstruktur optimiert für Prioritätssuche
• Def: ein linkslastiger Binärbaum ist ein Baum mit <math>d(node.left) \geq d(node.right)</math>

Ein Heap ist ein linkslastiger, perfekt balancierter Baum.

Man kann einen Heap leicht als Array implementieren, wie folgende Grafik veranschaulicht:

Sortieren als Suchproblem

Systematisches Fragen mit True und False kann auch als Baum dargestellt werden.

Hier ein Beispiel.Als Eingabe sind drei Zahlen angegeben a={1,2,3},wobei die Reihenfolge nicht bekannt ist.

Also mit Eingabe von drei Elemnten müssen im ungünstigsten Fall drei Schritte vorgenommen werden.
Die allgemeine Regel lautet: es gibt N mögliche Lösungen
=>der Baum muss N Blätter haben
=>ein baum mit N Blättern hat mindestens die Höhe logN

vollständiger Baum (oder balancierter Baum)[1]
2^d+1 Knoten
2^d Blätter

Sortieren

N = n!wenn das Arrey n Elemente hat
Zum Beispiel: 3! = 1*2*3 = 6
log6 <math>\approx</math> 2,6 => d = 3 - bei dem Frage-Baum brauch man im ungünstigsten Fall drei Schritte (True/False)
log6 <math>\approx</math> 2,6 - weil nicht jeder Pfad zu Ende durchgelaufen sein soll, um die Lösung zu bekommen.
d<math>\ge</math>log<math>_2</math>n! = log<math>_2</math>(1,2...n) = log<math>_2</math>1 + log<math>_2</math>2 + ... + log<math>_2</math>n = <math>\sum_{n=1}^n log_2n </math>

Abschätzung von Summen durch Integrale

gegeben : f(x) - monoton wachsend

<math>\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_2} f(\big\lfloor x \big\rfloor)dx</math> <math>\le</math> <math>\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_2} f(x)dx </math> <math>\le</math> <math>\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_2} f(\big\lceil x \big\rceil)dx</math>

<math>\downarrow</math>

<math>\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_1 + 1} \underline{f(x_1)}dx</math> + ...+ <math>\textstyle \int\limits_{x_2-1}^{x_2} f(x_2 - 1)dx </math> = <math>\sum_{k=x_1}^{x_2-1} f(k)</math>
( angenommen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> <math>\in </math> <math>\mathbb{N},\mathbb{Z}</math> )

wobei f(<math>x_1</math>) = f(<math>\big\lfloor x \big\rfloor </math><math>)_{x_1}^{x_1 +1}</math>

<math>\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_1 +1} f(x_1)dx</math> = f(<math>x_1</math>) <math>\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_1 + 1} 1dx</math> = f(<math>x_1</math>)x<math>\textstyle \int\limits_{x_1}^{x_1 + 1}</math> = f(x_1)

<math>\sum_{k=x_1}^{x_2-1} f(k) \le \textstyle \int\limits_{x_1}^{x_2} f(x)dx</math>

<math>\sum_{k=x_1 +1}^{x_2} f(k) \ge \textstyle \int\limits_{x_1}^{x_2} f(x)dx \iff</math> <math>\sum_{k=x_1}^{x_2} f(x) \ge \textstyle \int\limits_{x_1 - 1}^{x_2} f(x)dx </math>

für uns gilt: f(x) = log<math>_2</math>(x)

log<math>_2</math>1 + <math>\sum_{k=2}^{n} log_2 x\ge\textstyle \int\limits_{1}^{n} log_2 (x)dx </math> = <math>\frac{1}{ln2}\textstyle \int\limits_{1}^{n} log(x)dx</math> = <math>\frac{1}{ln2}</math> [xlogx - x]<math>_{x = 1}^n</math> = nlog<math>_2</math>(n) - <math>\frac{n - 1}{ln2}</math> = <math>\Omega</math>(nlog<math>_2</math>n)

<math>\Rightarrow</math> d = log<math>_2</math>n! = <math>\Omega</math>(nlogn)

kein Sortieralgorithmus auf Basis paarweise Vergleiche ist asymthotisch schneller als Mergesort