View source for Suchen

Es wäre super wenn jemand ganz kurz schreiben könnte, was am Donnerstag zu den Funktionen treeInsert/Remove/HasKey gemacht wurde, was man ja für den aktuellen Übungszettel braucht. Danke :-)<br />
/edit: an eine Funktion "HasKey" kann ich mich aus der Vorlesung nicht erinnern. Wenn die jemand hat, bitte eintragen. - Protokollant

<!--Hallo, ich kenne leider deinen Namen nicht, ich habe den Wiki-Eintrag von letztem Donnerstag gemacht.Da das Thema 'Dynamisches Array' noch Thema von letzter Woche war, hab ich die Wiederholung der amortisierten Kosten von diesem Mittwoch noch bei Effizienz eingetragen, du musst es also nicht noch mal in deinem Wiki eintragen. Du kannst dir aber gerne mal anschauen was ich geschrieben habe, vielleicht fallen dir noch ein paar Sachen ein, die man hätte besser machen können. lg, Franziska.-->
Das Suchen ist eine grundlegende Operation in der Informatik. Viele Probleme in der Informatik können auf Suchaufgaben zurückgeführt werden.

Gemeint ist mit Suchen das Wiederauffinden einer oder mehrerer Datensätze aus einer Menge von früher gespeicherten Datensätzen. Ein paar einleitende Worte zum Suchproblem findet man [http://de.wikipedia.org/wiki/Suche hier].

== Überblick verschiedener Suchmethoden ==

Um sich der Vielseitigkeit von Suchproblemen bewusst zu werden, ist es sinnvoll, sich einen Überblick über verschiedene Suchmethoden zu verschaffen. 

Hier sei auch auf einen bereits existierenden Wikipedia-Artikel zu [http://de.wikipedia.org/wiki/Suchverfahren Suchverfahren] verwiesen.

Allen gemeinsam ist die grundlegende Aufgabe, ein Datenelement mit bestimmten Eigenschaften aus einer großen Menge von Datenelementen zu selektieren.
Dies kann, natürlich ohne jeden Anspruch auf Vollständigkeit, nach einer der jetzt diskutierten Methoden geschehen:

* '''Schlüsselsuche''': meint das Suchen von Elementen mit bestimmtem Schlüssel; ein klassisches Beispiel wäre das Suchen in einem Wörterbuch,  die Schlüssel entsprechen hier den Wörtern, die Datensätze wären die zu den Wörtern gehörigen Eintragungen.

* '''Bereichssuche''': Im Allgemeinen meint die Bereichssuche in n-Dimensionen die Selektion von Elementen mit Eigenschaften aus einem bestimmten n-dimensionalen Volumen. Im eindimensionalen Fall will man alle Elemente finden, deren Eigenschaft(en) in einem bestimmten Intervall liegen. Die Verallgemeinerung auf n-Dimensionen ist offensichtlich. Ein Beispiel für die Bereichssuche in einer 3D-Kugel wäre ein Handy mit Geolokalisierung, welches alle Restaurants in einem Umkreis von 500m findet. Lineare Ungleichungen werden graphisch durch [http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperebene Hyperebenen] repräsentiert. In 2D sind diese Hyperebenen Geraden. Die Ungleichungen können dann den Lösungsraum in irgendeiner Form begrenzen.

* '''Ähnlichkeitssuche''': Finde Elemente, die gegebenen Eigenschaften möglichst ähnlich sind. Ein prominentes Beispiel ist Google (=Ähnlichkeit zwischen Suchbegriffen und Dokumenten) oder das Suchen des nächstengelegenen Restaurants (Ähnlichkeit zwischen eigener Position und Position des Restaurants). Ein wichtigster Spezialfall ist die ''nächste-nachbar Suche''.

* '''Graphensuche''': Hier wäre beispielsweise das Problem optimaler Wege zu nennen (Navigationssuche). Dieser Punkt wird später im Verlauf der Vorlesung noch einmal aufgegriffen werden.

Im jetzt Folgenden wird nur noch die ''Schlüsselsuche'' betrachtet werden.

==Sequentielle Suche==

Die ''sequentielle'' oder ''lineare'' Suche ist die einfachst mögliche Methode, einen Datensatz zu durchsuchen. Hierbei wird ein Array beispielsweise sequentiell von vorne nach hinten durchsucht. Ein prinzipieller Vorteil der Methode ist, dass auf der Eigenschaft der Datenelemente, nach denen das Array durchsucht wird, keine Ordnung im Sinne von > oder < definiert zu sein braucht, lediglich die Identität (==) muss feststellbar sein. Der folgende (Pseudo)-Python-Code zeigt eine Implementation der Suchmethode.

 a = ... # array
 
 foundIndex = sequentialSearch(a, key) 
 # foundIndex == -1 wenn nichts gefunden, 0 <math>\leq </math> foundIndex < len(a) wenn key gefunden (erster Eintrag mit diesem Wert)

 def sequentialSearch(a, key):
    for i in range(len(a)):
        if a[i] == key:  # bzw. allgemeiner a[i].key == key 
            return i
    return -1

Wir wollen jetzt die Komplexität dieses Algorithmus bestimmen, wobei die Problemgröße durch <tt>N = len(a)</tt> gegeben ist. 

Dabei nimmt man an, dass der innerste Vergleich (a[i] == key) jeweils <math> \mathcal{O}(1)</math> ist (diese Annahme könnte verletzt sein, wenn der Vergleichsoperator überladen ist und dadurch eine höhere Komplexität hat). Dieser Vergleich wird in der for-Schleife jeweils N-mal durchgeführt (<math> \mathcal{O}(N)</math>), so dass man nach der Verschachtelungsregel eine gesamte Komplexität von <math> \mathcal{O}(N)</math> erhält.

Der Name ''lineare'' Suche rührt von diesem linearen Anwachsen der Komplexität mit der Arraygröße her.

==Binäre Suche==

Wie wir weiter unten zeigen werden, gestattet es diese Suchmethode, die Gesamtdauer der Suche in großen Datensätzen beträchtlich zu verringern. Die Methode beruht auf dem [http://de.wikipedia.org/wiki/Divide_and_Conquer Divide and Conquer-Prinzip], wobei die Suche in jedem Schritt rekursiv auf eine Hälfte des Datensatzes eingeschränkt wird. Weitere Details zur Methode sind [http://de.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%A4re_Suche hier] zu finden. 

Die Methode ist nur dann anwendbar beziehungsweise effektiv, wenn folgendes gilt:

# Auf der Eigenschaft der Daten, die zur Suche verwendet wird, ist eine Ordnung im Sinne von < oder > definiert.
# Wir wollen uns auf Datensätze beschränken, die schon fertig aufgebaut sind, in die also keine neuen Elemente mehr eingefügt werden, wenn man mit dem Suchen beginnt. Ist dies nicht der Fall, so ist unter Umständen die Implementierung über einen [http://de.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%A4rbaum Binärbaum] (siehe auch weiter unten) geschickter. 

Der folgende Algorithmus zeigt eine beispielhafte Implementierung der Methode (wir setzen wieder <tt>N = len(a)</tt>):

 a = [...,...]     # array
 a.sort()   # sortiere über Ordnung des Schlüssels
 foundIndex = binSearch(a, key, 0, len(a))  # (Array, Schlüssel, von wo bis wo suchen im Array)
 # foundIndex == -1 wenn nichts gefunden, 0 <math>\leq</math>  foundIndex < len(a) wenn key gefunden (erster Eintrag mit diesem Wert)

 def binSearch(a, key, start, end):  # start ist 1. Index, end ist letzter Index + 1
    size = end - start   # <math> \mathcal{O}(1)</math>
    if size <= 0:   # Bereich leer?  <math> \mathcal{O}(1)</math>
        return -1   # <math> \mathcal{O}(1)</math>
    center = (start + end)/2   # Integer Division, Ergebnis wird abgerundet, wichtig für ganzzahlige Indizes <math> \mathcal{O}(1)</math>
    if a[center] == key:  # <math> \mathcal{O}(1)</math>
        return center  # <math> \mathcal{O}(1)</math>
    elif a[center] < key:  <math> \mathcal{O}(1)</math>
        return binSearch(a, key, center + 1, end)  # Rekursion
    else:
        return binSearch(a, key, start + 1, center)  # Rekursion

Zur Berechnung der Komplexität dieses Algorithmus vernachlässigen wir zunächst den Aufwand, den die Sortierung weiter oben verursacht. Dieser Schritt mag oder mag nicht zulässig sein.

Nach der Sequenzregel haben auch alle <math>\mathcal{O}(1)</math> Anweisungen die Komplexität <math>\mathcal{O}(1)</math>.  Es bleibt die Komplexität der Rekursion zu berechnen. Die gesamte Komplexität des Algorithmus (jetzt als Funktion f bezeichnet) setzt sich zusammen aus den oben erwähnten <math>\mathcal{O}(1)</math> Anweisungen sowie der Rekursion und ist 

<math>f(N) = \mathcal{O}(1) + f(N/2) = \mathcal{O}(1) + \mathcal{O}(1) + f(N/4) = ... = \underbrace{\mathcal{O}(1) + ... + \mathcal{O}(1) + \underbrace{f(0)}_{\mathcal{O}(1)\, \rightarrow \,\mathrm{size-Abfrage}}}_{n+1 \,\mathrm{Terme}} </math>

Falls jetzt gilt <math> N = 2^n </math>

<math> \rightarrow f(N) = \mathcal{O}(1) \cdot \mathcal{O}(n+1) = \mathcal{O}(n) = \mathcal{O}(\lg N) </math>

Für große Datenmengen ist die ''binäre Suche'' also weit effizienter als die ''lineare Suche''. Verdoppelt sich beispielsweise die zu durchsuchende Datenmenge, so verdoppelt sich der Aufwand für die ''sequentielle Suche'' - bei der ''binären Suche'' hingegen benötigt man lediglich eine zusätzliche Vergleichsoperation. 

Für kleine Daten (<math> N = 4,\, 5 </math>) ist die ''sequentielle Suche'' jedoch schneller als die ''binäre Suche'', da hier die rekursiven Funktionsaufrufe teurer als das Mehr an Vergleichen sind. Ein anderer ungünstiger Fall ist gegeben, wenn nur sehr wenige Suchanfragen erfolgen (weniger als <math>\mathcal{O}(N)</math> viele). Dann wird der Aufwand durch das Sortieren des Arrays dominiert, ist also <math>\mathcal{O}(N \lg N) </math>. Auch dann ist sequentielle Suche vorzuziehen.

Eine relativ einfache Möglichkeit, die ''binäre Suche'' zu verbessern, ist die sogenannte ''Interpolationssuche''. Hierbei wird die neue Position für die Suche, also die Mitte des Arrays, durch eine Schätzung ersetzt, die angibt, wo sich der Schlüssel innerhalb des Arrays befinden könnte. Bei der Suche in einem Telefonbuch nach dem Namen Zebra würde man ja auch nicht in der Mitte anfangen. Näheres hierzu im Buch von ''Sedgewick''.

Um sich den Algorithmus der ''binären Suche'' klar zu machen, ist es instruktiv, sich die folgende Tabelle genauer anzusehen, die die sukzessive Belegung der Variablen bei verschiedenen Anfragen beschreibt. Die Testfälle wurden nach dem Prinzip des ''domain partitioning'' gewählt. Das zugehörige Array hat die Einträge

 a = [2, 3, 4, 5, 6]

{| class="wikitable" style="text-align:center" border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" 
! gesuchter key   !!  start      !! end  !! size !! center !! return <br/> (-1 oder index)  !! Kommentare  
|- bgcolor="#e0e0e0"
| 4     ||0            || 5    ||  5   || 2   ||  2         || gefunden
|-
| 2     || 0           || 5    ||  5   || 2   ||            || linker Randfall
|-
|       ||0            || 2    ||  2   || 1   ||            ||           
|-
|       ||  0          || 1    ||  1   || 0   ||  0         || gefunden
|- bgcolor="#e0e0e0"
| 1     ||0            || 5    ||  5   || 2   ||            || links außerhalb
|- bgcolor="#e0e0e0"
|       ||0            || 2    ||  2   || 1   ||            ||
|- bgcolor="#e0e0e0"
|       ||0            || 1    ||  1   || 0   ||            ||
|- bgcolor="#e0e0e0"
|       ||0            || 0    ||  0   ||     || -1         || nichts gefunden
|-
| 6     ||0            || 5    ||  5   || 2   ||            || rechter Randfall
|-
|       ||  3          || 5    || 2    || 4   || 4          || gefunden
|- bgcolor="#e0e0e0"
| 5     ||0            || 5    ||  5   || 2   ||            || typischer Fall
|- bgcolor="#e0e0e0"
|       ||3            || 5    ||  2   || 4   ||            ||  
|- bgcolor="#e0e0e0"
|       || 3           || 4    ||  1   || 3   || 3          || gefunden
|- 
| 7     ||0            || 5    ||  5   || 2   ||            || rechts außerhalb        
|-
|       ||  3          || 5    ||  2   || 4   ||            ||
|-
|       ||5            || 5    ||  0   ||     || -1         || nichts gefunden
|}

== Suche in einem Binärbaum ==

Eine kurze Einführung in Binärbäume findet man [http://de.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%A4rbaum hier].

[[Image:Baum.png|text-top|300x300px|Zur Illustration von Bäumen]]

Bäume sind zweidimensional verkettete Strukturen. Sie gehören zu den fundamentalen Datenstrukturen in der Informatik. Da man in Bäumen nicht nur Daten speichern kann, sondern auch relevante Beziehungen der Daten untereinander, festgelegt über eine Ordnung auf der vergleichenden Dateneigenschaft (''Schlüssel''), eignen sich Bäume also insbesondere, um gesuchte Daten schnell wieder auffinden zu können.

Ein ''Binärbaum'' wie oben skizziert besteht aus einer Menge von ''Knoten'', die untereinander durch ''Kanten'' verbunden sind. Jeder Knoten hat einen linken und einen rechten Unterbaum, der auch leer sein kann (in Python ließe sich dies mit ''None'' implementieren). Führt eine Kante von Knoten A zu Knoten B, so heißt A Vater von B und B Kind von A. Es gibt genau einen Knoten ohne Vater, den man ''Wurzel'' nennt. Knoten ohne Kinder heißen ''Blätter''.

Ein ''Suchbaum'' hat zusätzlich die Eigenschaft, dass die Schlüssel jedes Knotens sortiert sind. Alle Schlüssel im linken Unterbaum sind kleiner, alle Schlüssel im rechten Unterbaum sind größer als ihr Vater. Wir wollen hierbei annehmen, dass jeder Schlüssel pro Datensatz nur einmal vorkommt, da sich sonst die >- oder <-Relation nicht mehr strikt erfüllen ließe.

Um in einem Baum suchen zu können, wollen wir von zwei Annahmen ausgehen:
# Einfügen und Suchen im Baum wechseln sich ab. (Wenn das Suchen erst beginnt, nachdem alle Einfügungen erfolgt sind, wäre ein dynamisches Array mit binärer Suche wie oben wesentlich einfacher.)
# Der Schlüssel, der die Anordnung bestimmt, kennt eine [http://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation Ordnung] (<-Relation oder >-Relation).

Der folgende Python-Code zeigt beispielhaft, wie man in einem Suchbaum suchen könnte. Der Konstruktor für einen Knoten des Suchbaums ließe sich zum Beispiel so implementieren:
 
 class Node:
     def __init__(self, key):
         self.key = key
         self.left = self.right = None
 
 root = ...    # Wurzel des Suchbaums
 nodeFound = treeSearch(root, key)   # None, falls nichts gefunden
 
 def treeSearch(node, key):
     if node is None:
         return None
     elif node.key == key:
         return node
     elif key < node.key:
         return treeSearch(node.left, key)
     else:
         return treeSearch(node.right, key)

Daraus resultiert der folgende Suchalgorithmus:

 def treeSort(node,array):     # dynamisches Array als 2. Argument
     if node is None:     # <math>\mathcal{O}(1)</math>
         return None:
     treeSort(node.left, array)     # rekursiv
     array.append(node.key)     # <math>\mathcal{O}(1)</math>
     treeSort(node.right, array)     # rekursiv

Komplexität:

 <math>
 f(N)=\mathcal{O}(1)+f(N_\mathrm{left})+f(N_\mathrm{right})=\mathcal{O}(1)+\mathcal{O}(1)+f(N_\mathrm{leftleft})+f(N_\mathrm{leftright})+\mathcal{O}(1)+f(N_\mathrm{rightleft})
 +f(N_\mathrm{leftright})=N\ast\mathcal{O}(1)=\mathcal{O}(N)
 </math>

Sortier-Pseudocode:

 Sortieren:
     (Array) a     # unsortiert
     (tree) t     # zunächst leer
 (dynamisches Array) r     # später sortiert
 for e in a:
     t = treeInsert(t, e)
 treeSort(t, r)

== Insert ==

Was passiert wenn der key (Schlüssel) schon vorhanden ist?
* error (exception)
* nichts einfügen
* nichts einfügen aber einen boolean return zurückgeben (einfügen=true, false)
* nochmals eingefügt (z.B. in der Node Klasse)

Wobei die ersten 3 Punkte zur Mengensemantik gehören und der letzte eine Multimenge ist.

Algorithmus im zweiten Fall (nichts einfügen):

 def treeInsert(node, key):
     if node is None:
         return Node(key)     # Alternative Schreibweise: node = Node(key)
     if node.key == key:      # und dann:
         return node          # pass
     elif key < node.key:     # links im Baum
         node.left = treeInsert(node.left, key)
     else:
         node.right = treeInsert(node.right, key)
     return node

== Remove ==
Fälle:
# key (bzw. Knoten der key enthält) ist ein Blatt => einfach löschen
# node hat <u>nur</u> linken Unterbaum oder <u>nur</u> rechten Unterbaum => durch Unterbaum ersetzen
# node hat beide Unterbäume:
#* Suche Vorgänger: max k < key (k <math>\in</math> keys); Vorgänger ist immer ein Fall 1 oder Fall 2
#*:=> ersetze node durch Vorgänger und entferne Vorgänger

 def treePredecessor(node):     # wird nur bei Fall 3 aufgerufen
     node = node.left
     while node.right is not None:
         node = node.right
     return node
 
 def treeRemove(node, key):
     if node is None:
         return node
     if key < node.key:
         node.left = treeRemove(node.left, key)
     elif key > node.key:
         node.right = treeRemove(node.right, key)
     else:
         if node.left is None and node.right is None:     # Fall 1
             node = None
         elif node.left is None:     # Fall 2
             node = node.right       # +
         elif node.right is None:    # Fall 2
             node = node.left
         else:
             pred = treePredecessor(node)
             node.key = pred.key
             node.left = treeRemove(node.left, pred.key)
     return node

== Komplexitätsanalyse ==

* Pfad (Zwischen node<sub>1</sub> und node<sub>2</sub>): 
**Folge von Knoten (node<sub>k1</sub>,...,node<sub>kn</sub>), sodass:
*** node<sub>k1</sub> == node<sub>1</sub>
*** node<sub>kn</sub> == node<sub>2</sub>
*** node<sub>ki</sub> und node<sub>ki+1</sub> haben eine gemeinsame Kante.
[[Image:Baum_Pfad.png]]
(Ein Baum ist ein Graph, indem es zwischen beliebigen Knoten stets genau einen Pfad gibt.)

* Länge eines Pfades: Anzahl der Kanten = Anzahl der Knoten - 1
* Tiefe eines Knotens: Pfadlänge vom Knoten zur Wurzel des Baumes.
* Tiefe des Baumes: maximale Tiefe eines Knotens
* Balance eines Baumes: maximale Tiefe(k) - minimale Tiefe(k) (k <math>\in</math> Blätter)

== Ungünstigster Fall von treeSearch ==

Komplexität von treeSearch = Länge des Pfades zum Knoten wo <tt>key</tt> gefunden wird, oder erkannt wird, dass <tt>key</tt> nicht im Baum ist.<br />
=> Ungünstigster Fall: <tt>key</tt> wird nicht gefunden, aber für diese Entscheidung muss der Längste Pfad vollständig durchlaufen werden.<br />
=> Ungünstigster Fall: <math>\mathcal{O}(T)</math> wo T = Tiefe des Baumes
*: [1,2,3,4,5]:<br /> [[Image:Balance.png]]
*: Tiefe T = 4, Balance = 4
=> Ungünstigster Fall: <math>\mathcal{O}(N)</math> wo N = Anzahl der Elemente.

== Aufgabe ==

Minimiere Balance (erzeuge balancierten Baum):
# Einfügen in geschickter Reihenfolge (siehe Übungsaufgabe)
# Selbstbalancierter Baum:
#* Überprüfen der Balance nach jedem Einfügen
#* Umstrukturieren des Baumes, falls Balance > 1 (Suchbaum-Bedingung muss erhalten bleiben)
#* AVL-Bäume (älteste Variante)
#* Rot-Schwarz-Bäume (verbreiteste Variante)
#* Treaps (flexibelste Variante, siehe Übung)
#* Splay trees
#* Andersson Trees (einfachste Variante)
(#* Skip Lists (schnellste Variante, aber kein Binärbaum))

== Umstrukturieren, so dass Suchbaumbedingung erhalten bleibt: ==

Rotation: elementare Umstrukturierungen

[[Image:Baum_Rotation.png]]

 def rotateRight(node):
     newRoot = node.left
     node.left = newRoot.right
     newRoot.right = node
     return newRoot

 def rotateLeft(node):
     newRoot = node.right
     node.right = newRoot.left
     newRoot.left = node
     return newRoot

== Balance eines Suchbaumes ==

===Balance eines Baumes zu  definieren:===
[[Image:Abbildung1.jpg|250px|right]]
*betrachte <tt>None</tt> als zusätzlichen Knoten : '''sentinel'''   ([[englische Sprache|engl.]] für ''Wächter'')
*oder defeniere speziellen sentinel-Knoten
*RS - Pfades : von <tt>root</tt> &rarr; ''sentinel''
*Länge eines Pfades ''P''      '''''|P|'''''
* <u>die Balance eines Baumes zu defenieren:</u>
: '''''B = max P '''''<math> \in </math> '''''{RS}    |P| - min |P|'''''
:'''''{RS}'''''  Menge aller RS-Pfade
;vollständiger Baum:  Balance <math>~=0</math>
:Alle Knoten(außer Blättern) haben 2 Kinder.
;perfect balancierter Baum:  Balance  <math> \le</math> 1
'''alternative Defenition für perfect balancierte Bäume'''
:Für jeden Teilbaum gilt es: rechtes und linkes Kind (für jeden Knoten) sind auch wieder perfect balancierte Bäume und ihre Höhe unterscheidet sich höchstens um '''1'''.

===Größe===
[[Image:baum-v.png|700px|right]]
====Größe des vollständigen Baumes====
Ebene K hat 2 <sup>k</sup> Knoten.
Falls Tiefe = d , dann N = 2<sup>0</sup> + 2<sup>1</sup>.....+ 2<sup>d</sup> = 2<sup>d+1</sup> -1

====Größe des perfect balancierten Baumes====
Die Tiefe d, kann nicht besser sein als vollständiger Baum
:'''=>'''N <math> \le</math> 2 <sup>d+1</sup> - 1
;schlechteste perfect balancierter Baum : ist ein vollständiger der Tiefe  d - 1 + 1, N <math> \ge</math> 2<sup>d</sup>

:'''=>'''  2<sup>d</sup> <math> \le</math> N <math> \le</math> 2<sup>d+1</sup> - 1


log<sub>2</sub>2<sup>d</sup> <math>\le</math> log<sub>2</sub>N <math>\le</math> log<sub>2</sub>(2<sup>d+1</sup> -1)   <math>~<</math> log<sub>2</sub>(2<sup>d+1</sup>)<br>


d <math>\le</math>  log<sub>2</sub> N <math>\le</math> (d + 1)

*Ergibt die Komplexität der Suche im schlechtesten Fall: Anzahl der Vergleiche pro Knoten( = 2 bzw. = 3)<math>\ast</math>Anzahl der Knoten
:<math>\Rightarrow ~f(N)\le 2d \le 2\log_{2}{ N} = \mathcal{O}(\log_{2}{N})</math>

*'''perfekt balancierter Baum '''=> AVL-Baum 
*'''balancierter Baum''':
::<math>\forall  N:d(N)\le c \ast d (N)</math> und  <math>1 \le c < \mathcal {1}</math>

:: d ist die Tiefe von perfekt balancierten Baum

:''Komplexität der Suche'':<math> ~f(N)\le  c\ast 2\log_{2}{ N} = \mathcal{O}(\log_{2}{N})</math>
:algorithmisch einfacher als perfekt balancierter Baum, aber fast genauso schnell

====Selbst-balancierter Baum====


  def insertTree(node,key):
    if node is sentinel:       #(None = sentinel)
        return Node(key)       
    if node.key == key:
        return Node
    if key < node.key:
        Node = insertTree(node.left, key)
    else:
        node.right = insertTree(node.right, key)
   #optimiere Balance:
        return node

===Anderson-Bäume===

  class Node:
    def__init__(self, key):
        self.key = key
        self.left = selft.right = None
        #einfügen:
        self.level = 1

:''level'' : kodiert Abstand von sentinel
====Regeln====
Es gibt vertikale Kanten(parent.level == child.level + 1 ) und horizontale Kanten(parent.level == child.level)
:*verfeinerter Regel :  ''level kodiert reduzierten Abstand von Setinel''  (d.b. horizontale Kanten werden nicht gezählt)
::(die nächste zwei Regeln sichern die Balance):
::*alle RS-Pfade haben die gleiche reduzierte Länge oder ''root'' hat bei allen Pfaden das gleiche Level
::*kein Pfad hat 2 aufeinanderer folgende horizontale Kanten
:*nur Kanten zum rechten Kind dürfen horizontal sein
:*die reduzierte Höhe jedes Blatts ist '''hr=1'''

====Beweis====
Vereinfachung des Algorithmus
:'''Satz''':ein Anderson-Baum ist balanciert.
*1. Sei '''hr'''- die reduzierte Höhe
:<math>\Rightarrow</math> jeder Teilbaum enthält mindestens <math>N\ge 2^{hr} -1 </math>  Knoten

::a). Blätter : reduzierte Höhe 1 => <math> N\ge 2^{1} - 1 = 1</math>

::b). inneren Knoten: jeder Unterbaum hat mindestens reduzierte Höhe <math> ~hr - 1 </math>
::::<math>\Rightarrow</math>  jeder Unterbaum hat mindestens <math> ~2^{hr} -1 </math> Knoten
::::<math>\Rightarrow</math> <math>N \ge 2 (2^{hr-1} -1)+1 = 2^w - 2 + 1 = 2^{hr} -1</math>
::::alle RS-Pfade heben gleiche Länge
[[Image:Anderson.png|700px|right]]



*2. Kein Pfad hat 2 aufeinanderfolgende horizontal Kanten
:::<math>\Rightarrow  d \le 2 hr + 1</math>
*3. zusammen:
:<math>N \ge 2^{\frac {d}{2}} - 1 </math>

:<math>log_{2}{ N}+1\ge log 2^{\frac {d}{2}} - 1 \ge \frac {d}{2}</math>

:<math> ~d < 2 log_{2}{(N + 1)}</math>     - balancierter Baum


:'''Suchzeit''' : <math> ~ f(N) = \mathcal{O}(log{N})</math>

===Wie erreicht man die Balance===
====Rotation====


[[Image:Abbildung4.jpg|text-top|400x300px]]


   def rotateRight (node):
      root = node.left
      node.left = node.right
      root.right = node
      return root
   def rotateLeft(node):
      root = node.right
      node.right = node.left
      root.left = node
      return root

====Optimierung der Balance====
   

       if node.left is not sentinel and node.level==node.left.level:
            node > rotateRight(node)
       if node.right is not sentinel and node.right.right is  not sentinel and node.level==rotate.right.right.level:
            node = rotateLeft(node)
            node.level += 1